文：乔立岩
唐代白居易的诗以其平易通俗、富有情趣而自成一脉，开创了文学史上的历史辉煌。他的一首杂言诗《花非花》却朦胧缥缈、博喻隐晦、意境深邃，又回味无穷：“花非花，雾非雾。夜半来，天明去。来如春梦几多时？去似朝云无觅处。”诗中的“朝云”，乃是借用宋玉所作《高唐赋》中楚襄王梦巫山神女之典故： “旦为朝云，暮为行雨，朝朝暮暮，阳台之下” 。更有“花非花，雾非雾”这两处极为灵巧的比喻，烘托出“夜半来，天明去”的朝云易散，春梦难觅的轻婉和朦胧意境。
这种朦胧缥缈、寻寻觅觅，原本是文学作品中营造出来的一种情境，与古典力学这种纯理性的科学难有相似之处，然而，在离心力惯性力这个假想和虚拟的对应场景中，却也遇到了出现了这种 “花非花，雾非雾” 的难以捉摸的云雾情境。这就需要从牛顿建立古典力学理论的历史背景和初始过程说起。
一、古典力学的发展与“受迫运动”的绝对化
一位古希腊时期的数学家及哲学家毕达哥拉斯（希腊语：Πυθαγόρας，约公元前580 年─公元前 300 年），他曾有一句名言“凡物皆数”，意思是万物的本原是数，数的规律统治万物。 “一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，他们所认识到的数还只是“有理数”。在毕达哥拉斯提出了现在众所周知的毕氏定理后（即勾股定理，中国于公元前一千一百年已有此定理），其学派中的一个成员希帕索斯(Hippasus) 提出了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？这一对角线长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生，史称“第一次数学危机”。
小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，对于当时古希腊人的观念都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量都可以表示成有理数的认识，当时不但在希腊是人们普遍接受的信仰，也为日常的生活经验所确信，居然被小小的√2的存在而推翻了！后来提出这个问题的希帕索斯被投海处死，也就不足为怪了。
在物理学方面，古希腊哲学家亚里士多德（希腊语：Αριστοτέλης，Aristotélēs，前384年6月19日—前322年3月7日） 认为物体的运动方式分为两种，一种是自然界的“自然运动”；一种是非自然的“受迫运动”，受迫运动只有在一个不断作用着的推动者直接接触下，才能够保持运动。可以说，在牛顿经典力学体系的大厦没有造起来之前，整个西方世界的科学都以展开亚里士多德的物理学科来进行。亚里士多德的著作也提供了许多科学的观察和记载。其实，亚里士多德的《物理学》一书最为正确的翻译应是《自然哲学》，他所讲的物理学不同于现在的物理学，而是研究自然现象的自然哲学，它包括了今天物理学的一些内容，还容纳了化学、生物学、天文学、地学等等。此书研究自然界的总原则和物质世界的运动变化总规律。这种将现象上升到哲学高度的方法和思想，即从事物中提取出共有特征，这是一种划时代的认知方式。根据亚里士多德的说法，“真空”是不能存在的，因为空间必须装满物质。这样才能通过直接接触来传递物理作用。这也构成与后来的物理学家艾萨克·牛顿哲学观方面的分水岭，也是物理世界认知方式的根本分歧。
在古典力学的后续发展中逐渐强化了这样的一种哲学观：绝对的空间除了可见的天体和物体之外是绝对的真空；而这些天体和物体都是处于外力作用下的“受迫运动”或静止状态。由此不难看出，这样的认识是基于在地球表面人类活动条件下，所建立的对力的作用的经验性认知，将其放大应用于宇宙天体运行和整个宇宙空间层面，并用数学公式拟合各天体的运行和相互作用规律。而且，将有生命存在的灵性空间抽象成一种无机空间后形成的偏狭认识：有运动便一定有力的作用；离开力的作用就没有运动。在这种逻辑模式下，当有运动，而又找不到作用力时，就人为的虚构出某种假想力或虚拟力来维系数学公式的平衡。在此之后，物理教育的意义就是让受教者对这一切习惯成自然并接受，成为一种常识性的观念。
二、牛顿水桶实验中的离心惯性力来自哪里？
古典力学是以牛顿运动定律为基础，在宏观世界和低速状态下，研究物体运动的基本学科。16世纪，意大利物理学家伽利略，就已采用科学实验和数学分析的方法研究力学。他为后来的科学家提供了许多豁然开朗的启示。从伽利略以后，新的实验科学逐步获得发展，数学语言取代哲学思辨语言被用于表述自然规律成为时尚。牛顿则是最早使用数学语言描述力学定律的科学家。牛顿在《自然哲学之数学原理》第一版的序言一开始就指出，他要“致力于发展与哲学相关的数学”，这本书是几何学与力学的结合，是一种“理性的力学” ，一种“精确地提出问题并加以演示的科学，旨在研究某种力所产生的运动，以及某种运动所需要的力”。他的任务是“由运动现象去研究自然力，再由这些力去推演其他运动现象”。也就是说，牛顿是要用统一的力学动因去解释从地面物体到天体的所有运动和现象。 [1]
由此可知，牛顿建立的这个宇宙体系是以绝对时空和绝对运动为基础，是一个将宇宙空间的内赋秉性排除在外的、理想化的空无一物的时空，再置入所有的天体和物体，用数学公式描述它们的运动。那么，这些天体为什么会按照一定的轨道运动呢？由此推导出：有运动必然存在某种力；有力才会产生运动。实际上，这是将亚里士多德所说的非自然的“受迫运动” 当成宇宙中必然的、支配性的客观规律，而将他所说的自然界有灵性的“自然运动” 排除在外。牛顿在用此理论解释自然界的运动时，许多情况下难以自洽，不得不为某些客观存在的运动“理性的”虚构出某些神秘的假想力、虚拟力以及其它惯性力或力矩，例如：物体作圆周运动时的离心力、陀螺进动的回转力矩等。
在《自然哲学之数学原理》 一书开头的系列定义之后的附注中，牛顿为了区分绝对运动和相对运动，提出了一个历史上极为著名的“水桶实验”，引发了后来300年的思考和争议。按照牛顿的绝对时空观。牛顿引入绝对时间和绝对空间的概念，并且提供一个标准来判断宇宙万物所处的状态究竟是处于静止，还是运动。为了证明“绝对运动”的存在，牛顿举了水桶旋转的例子。他是这样描述的： 如果用长绳吊一水桶，让它旋转至绳扭紧，然后将水注入，水与桶都暂处于静止之中。然后突然放开绳结，使桶反方向旋转；起初，水的表面是平的；当桶逐渐把运动传递给水，使水也开始旋转起来，将会看到水渐渐地脱离其中心，沿桶壁上升形成下凹状表面，水与桶的转速达到一致。水的升高显示出它脱离转轴的倾向，显示出绝对的圆周运动中离心惯性力的作用。如图1所示。
图1 水桶旋转示意图 a) 静止和转动初始状态 b) 旋转运动稳定状态
然而，绝对时间和绝对空间毕竟是一种人为的理想化的假设。到了 19 世纪末，奥地利物理学家马赫（Ernst Mach，1838—1916）在他的《力学及其发展的批判历史概论》（ The Science Of Mechanics: A Critical And Historical Account Of Its Development ）一书中深入分析了牛顿力学的基本概念以及由其反映的机械自然观，例如：马赫不同意把惯性看成是物体固有的性质，认为惯性来源于宇宙间。他指出：“我们不应该忘记，世界上的一切事物都是互相联系、互相依赖的，我们本身和我们所有的思想也是自然界的一部分。”“牛顿旋转水桶的实验只是告诉我们，水对桶壁的相对转动并不引起显著的离心力，而这离心力是由水对地球的质量和其他天体的相对转动所产生的。”
马赫的精辟论述揭示了牛顿力学的局限性，并说这些概念纯粹只是从内心中构造出来的。还不客气的评价牛顿已经背叛了他只研究真实世界的初心，在当时的科学界和思想界中产生了很大的震动。爱因斯坦高度评价马赫的批判精神，把他称为“相对论的先驱。”
由此而面临的问题是，水桶旋转时的下凹状水面呈现出的离心惯性力表现，是物体的固有性质，还是在地球的“重力场”作用下产生的结果？在空无一物、没有任何秉性的绝对空间，这种情况也会出现吗？此外，水桶实验中只注意到了筒壁与水的相对运动情况，而未关注桶底圆盘的旋转效应和作用，被忽略的因素可能恰好就是最重要的直接原因和答案。后续的讨论中将采用经验性的现象观察和形象、直观的分析阐释其中的奥秘。
三、陀螺旋进时的离心力消失之惑
陀螺是在许多考古遗迹中最古老的玩具之一。它可以绕着中心轴旋转，平衡于陀螺尖端的一点，虽然倾斜但不会翻倒。1926年，中国的考古学家李济在山西夏县西阴村仰韶文化遗址中发现了一个陶制陀螺，被确定为公元前5000年至公元前3000年的文物。上世纪七十年代，考古人员在浙江余姚、慈城平原上的河姆渡遗址中，共出土了42件陀螺，其中陶制4件、木制38件。经过碳14的测定，来自起源于约公元前5000年的河姆渡文化。从目前的考古材料上看，河姆渡文化中的陀螺是世界上最早的。2010年，考古人员在洛阳市五女冢村发现一处龙山文化晚期遗址，其中有一个石制陀螺，它和现代陀螺大小、形状十分相似，直径约5.7厘米，高约7.7厘米，重不足300克。由此可见，陀螺可能从远古时期开始，就已经成为先民家中常见的一种娱乐玩具。
在世界各地的考古中也有陀螺的发现。如在伊拉克巴格达东南约300千米的乌尔镇就发现了公元前3500年的陶土陀螺；在特洛伊（现土耳其）也发现了公元前3000年的陶土旋转物；在埃及发现了公元前1400年左右的木雕陀螺；在希腊底比斯发现了公元前1250年的陶土陀螺。关于陀螺的记载也很丰富。荷马史诗《伊利亚特》在描写被石头打中的赫克托耳时说：“……他像个陀螺似地打起回旋来。”柏拉图的《理想国》中用陀螺的运动来说明运动与不动。
现代的陀螺仪，通常被定义为一个旋转的圆盘，其中旋转轴可以自由地设定为任何方向。高速旋转时，旋转轴的方向不受承载陀螺仪的车辆或飞行器姿态和朝向的影响，从一个地方向另一个地方移动时，旋转轴的方向自始至终保持不变。这种特性使得陀螺仪在惯性导航中非常适用，特别是在无法使用磁罗盘的地方，例如在载人和无人航天器、洲际弹道导弹、卫星、无人驾驶飞行器和哈勃太空望远镜等场合得到广泛的应用。
1983年，帝国理工学院（Imperial College London）的埃里克·莱思韦特教授（Eric Laithwaite，1921年6月14日—1997年11月27日）曾在电视节目中演示了高速旋转陀螺盘的“反重力”效应：顺着一个约18公斤（40磅）重的陀螺盘的进动方向，他用一只手抓住长轴杆一端，便可以很轻松的将其托起并高过头顶。
通常情况下，旋转起来的陀螺会参与两个运动，除围绕自身对称轴的转动外，陀螺整体还会围绕垂直于地面的轴线转动，称之为进动，如图2所示。如果把陀螺倾斜一定角度置于地面上，不旋转的陀螺j将会翻倒，这是因为重力会产生作用于其质心的扭矩。但如果陀螺绕轴高速旋转，就不会因这种扭矩作用而翻倒，而是绕垂直于地面的轴线（z轴）旋转进动。这类进动是一种无外在拘束的水平圆周运动，按照古典力学的认识，由于离心惯性力的作用下将会使它沿着切线方向飞出去，为什么这一切都没有发生呢？
图2 陀螺仪旋进示意图
当离心力这个虚拟力消失，原有的理论难以解释这种现象的时候，陀螺旋转的角动量矢量产生旋进扭矩的解释就出场了，而且还有计算公式和右手判定法则。“花非花，雾非雾”的解释让一代又一代学习这门课的人都晕晕乎乎的，除了信其有，又能如何呢？而且这种旋进还会带有一定的章动，即陀螺转轴在上下方向的轻微摇摆。当旋转速度逐渐慢下来时，这种章动的幅度和旋进速度都会增大，直至最后平衡不了重力产生的扭矩而翻倒。
显而易见，陀螺的旋转速度，也就是圆盘的旋转速度是决定性的因素，那么，角动量又是如何抵消了因重力作用而产生的扭矩？答案就在牛顿旋转水桶的底盘那里，我们从旋转的水桶底盘可以得到哪些启示呢？
四、陀螺旋进时不翻倒的作用机制探源
从牛顿的旋转水桶实验可知，旋转水桶稳定态的水面呈下凹状，其中的原因是周围的筒壁阻挡了水向四周的溢出。同时也显示出水桶底盘上方转轴中心的水，有从上往下，再向四周流动的迁移特征。若是在一个非常深的水池中放置一个快速旋转的圆盘，上方的水可以源源不断的补充，是否会形成一种自上而下，尔后向圆盘四周散溢的旋流呢？
实际上，这在流体力学中已经有经典的定义和表述，称之为冯·卡门旋流（Von Kármán swirling flow），以此定义这样一种由均匀旋转的无限长平面圆盘产生的流动。这种流动属于稳定流动类别，西奥多·冯·卡门 （Theodore von Kármán）在1921 年就已解决了这个问题。当远离圆盘表面时，流体沿轴向快速流向旋转的圆盘；在靠近表面时，流体逐渐获得旋转运动；接近圆盘表面时，流体的角速度增加并最终达到与圆盘一致，同时还获得向外流动的径向速度。因此，在圆盘边缘以内的流体，存在径向、轴向和切向分量，旋流的速度矢量分布如图3所示。
图3 旋转圆盘冯·卡门旋流的速度矢量分布示意图
由此可以看出，旋转的圆盘将会受到源源不断的轴向流体的推压，这些流体在圆盘表面旋转着流溢四周。在圆盘边缘附着的物体必然会受到向外流溢的流体的冲击，又受到外部静态流体的挤压，所以将会沿圆周的切线方向飞出和移动，由此是否可以理解离心惯性力现象产生的机制？
如果旋转圆盘上下两面都有流体，则会有上下两股流体快速流向圆盘，并且从两面推压圆盘，使得圆盘的空间姿态得以稳定。这两股流体对圆盘的推压和夹持，是否可以抵消陀螺旋进时重力y引起的促使其翻倒的扭矩？
这里给出的是流体力学中旋转圆盘给出的非常直观、形象的旋流作用机制例证，但真正的作用不是发生在我们这个表面空间，而是在某一层微观空间之中，因为现有的技术手段探测不到，这里作出一个猜想式的假设：在地球空间场范围内的某一层微观空间中，无处不在的分布着一种看不见的、具有张力的粘滞性流体，其特性或是如蜂蜜一样的牛顿流体或其它非牛顿流体，密度分布有些类似空气的分布特征，靠近地面密度较大，而高空则比较稀薄。暂且称之为“张力态”，通过它对物体施加张力（推或拉）作用，既可以稳定物体的状态，又能够对物体的运动起到一定的限制作用，是否与惯性的作用机制有些类似？
这种特性的流体，受旋转圆盘的作用产生的快速流动，从两面推压并夹持住圆盘，同时，由于圆盘周围的流体溢出受到动量层之外的静态流体的反作用力，圆盘侧下方的流体密度较大，作用力也相对较大，既平衡了由重力产生的使翻倒的扭矩，又提供了进动的推力。圆盘的结构性（包括质心）及其它因素（摩擦力等）造成的不对称会对旋流或转动产生影响，从而引发转轴的章动。好比用手持砂轮机打磨坚硬固体表面，受到反作用力会使它发生跳动。这与砂轮转速越低，跳动越大而难以把控的情况极为相似。
在古典力学理论中，离心惯性力“夜半来，天明去”，在旋转水桶实验中“出现”，而陀螺旋进时则消失，留给人们无限的思索和惆怅。数百年来，多少科学家投入精力研究此问题，各种解释和争议并存。但多数都未跳出“受迫运动”划定的万有引力框架。曾见到过这样一个说法：“物理的尽头是玄学。”也都以为至少物理学的起初还是实证科学的经典篇章，当知道了牛顿建立古典力学理论体系的过程细节，特别是当离心惯性力的迷雾散去后，天明是否已经到来？一直被忽视的亚里士多德所提出的“自然运动”的哲学认识指向，是否可以回答牛顿对“第一推动力”的困惑呢？
参考文献：
[1] 王克迪译，《自然哲学之数学原理》（ [英] 牛顿著），北京大学出版社2018年6月出版。
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来源:正见网
